SOLUCIÓN PROBLEMA 3. INVERSIÓN

Dibujado el enunciado del problema comenzamos:

Lo primero que tenemos en cuenta es donde tenemos el centro de inversión, en nuestro caso el centro de inversión es coincidente con el punto A, por lo que el punto inverso A' quedará indefinido.

Para encontrar el inverso del punto B buscaremos primero la circunferencia de puntos dobles o autoinversión, que es aquella cuyos puntos inversos son iguales a los puntos iniciales (P = P'). Para dibujar esta circunferencia nos basta con saber que su centro es el punto de inversión y su radio es la constante K=AT, dato que nos da el enunciado. (Si no lo entiendes revisa la teoría aquí!)

 Dibujamos la tangente a la circunferencia por T, y la mediatriz del segmento TB.

Donde se corte la mediatriz del segmento TB y la tangente por T, obtenemos el centro de la circunferencia de radio OB que contiene al punto inverso B', ya que dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia.

Si realizamos lo mismo con el resto de puntos el resultado es el siguiente:

Como podemos observar se cumple que la inversa a una circunferencia que pasa por el punto de inversión es una recta que no pasa por el punto de inversión.

Para responder a la segunda pregunta que se plantea te adjunto un dibujo con Geogebra dinámico para que puedas ver cómo varía la solución en función de la constante K.

SOLUCIÓN PROBLEMA 2. LA MEDIATRIZ.

Para resolver el PROBLEMA 2 seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallaremos la mediatriz de AB.

2. Seleccionaremos los puntos de la mediatriz que también coincidan con el rio.

3. Comprobaremos cual es el camino más corto AJB o AIB.

La solución sería realizar el puente en el punto J, ya que es equidistante desde A y B, forma parte del rio y el camino que pasa por J es más corto que el que pasa por I.


Repasa y aprende:
¿Si quisieran tener en cuenta a un tercer pueblo C que tendrían que hacer?

SOLUCIÓN PROBLEMA 1. GEOMETRÍA MÉTRICA BÁSICA.

Para resolver este problema utilizaremos el teorema de Thales.
Para repasar el teorema de Thales puedes echar un ojo a esta página: Piziadas

1. En primer lugar debemos tener en cuenta la escala a la que se pide realizar el dibujo, en este caso 1/1250, lo que significa que 1 cm del dibujo representará 1250 cm de la realidad. Por lo que el lado "b" que mide 50 m en la realidad, medirá 4 cm en el dibujo, y el lado "c" medirá 3 cm.

Después colocaremos 35º en sentido antihorario desde el vértice A y situaremos el lado "c". Como nos dicen que se trata de un cuadrilátero, sabemos que sus lados son parelelos dos a dos por que definimos el cuadrilátero ABCD, uniendo B y C, haciendo una paralela a BC desde A, y haciendo una paralela a AB desde C.

2. Para saber los puntos donde estarán los postes de las verjas y las puertas de los lados contiguos a "b" que estarán por lo tanto situadas en "g" y "d", realizaremos una recta desde B en cualquier dirección en la que colocaremos una recta con puntos separados 1 cm para las verjas y 0,45cm para la puerta. Uniremos el último punto de esa recta con C y haremos paralelas a ese segmento por el resto de puntos de la recta.

3. Por paralelas a b desde E', F', G' y H', obtendremos los postes y las puerta del lado g.

4. Para saber donde estarán los postes en los lados b y h, realizaremos otro teorema de Thales desde A, colocando en una recta cualquiera cinco puntos equidistantes 1cm. Uniendo el último con B, y haciendo paralelas a ese segmento desde los puntos de la recta.

5. Para terminar realizaremos paralelas a BC desde K', L', M' y N'.

SOLUCIÓN FINAL: