DIÉDRICO DIRECTO. INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS.

Buenos días a todos.

Hoy vamos a repasar el sistema diédrico directo. Utilizaremos para ello un ejercicio muy sencillo de intersección entre dos planos. 

En el sistema directo podemos representar los dos planos por tres puntos. En nuestro caso tenemos dos planos, el azul formado por los puntos ABC y el rojo formado por los puntos DEF.

 Para hallar la intersección entre ambos planos en el sistema diédrico tradicional usaríamos dos planos horizontales para ver la intersección de cada plano horizontal con los planos que forman los triángulos, y ver las intersecciones resultantes.

  Sin embargo con el sistema directo lo que planteamos es intersecciones recta-plano a través de planos perpendiculares al plano vertical que contengan a un lado del triángulo azul, de tal forma que la intersección sea directa. Con ello conseguimos una ejercicio más limpio, cómo veremos a continuación.

 P y Q son los planos de canto que usaremos para hallar las intersecciones con el plano DEF. En la primera, nos saldrán los puntos 1 y 2, que al unirlos nos darán el punto M; y con la segunda intersección, esta vez con el plano Q y el plano DEF, nos darán las intersecciones 3 y 4, que al unirlas nos darán el punto N.

 La recta solución será la recta que surge al unir M y N.

Espero que os haya servido a todos!

Un saludo!

SOLUCIÓN PROBLEMA 3. INVERSIÓN

Dibujado el enunciado del problema comenzamos:

Lo primero que tenemos en cuenta es donde tenemos el centro de inversión, en nuestro caso el centro de inversión es coincidente con el punto A, por lo que el punto inverso A' quedará indefinido.

Para encontrar el inverso del punto B buscaremos primero la circunferencia de puntos dobles o autoinversión, que es aquella cuyos puntos inversos son iguales a los puntos iniciales (P = P'). Para dibujar esta circunferencia nos basta con saber que su centro es el punto de inversión y su radio es la constante K=AT, dato que nos da el enunciado. (Si no lo entiendes revisa la teoría aquí!)

 Dibujamos la tangente a la circunferencia por T, y la mediatriz del segmento TB.

Donde se corte la mediatriz del segmento TB y la tangente por T, obtenemos el centro de la circunferencia de radio OB que contiene al punto inverso B', ya que dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia.

Si realizamos lo mismo con el resto de puntos el resultado es el siguiente:

Como podemos observar se cumple que la inversa a una circunferencia que pasa por el punto de inversión es una recta que no pasa por el punto de inversión.

Para responder a la segunda pregunta que se plantea te adjunto un dibujo con Geogebra dinámico para que puedas ver cómo varía la solución en función de la constante K.

PROBLEMA 4. INVERSIÓN

Hola de nuevo! 
Aunque últimamente no he publicado mucho vuelvo con un problema de inversión para animaros un poco.

Hallar el inverso de un hexágono circunscrito en una circunferencia de radio 2,5, sabiendo que un vertice A del hexágono es además el centro de inversión y que la constante de inversión K = 2. 

Para los que van un paso por delante:
Si la constante de inversión fuera variable, ¿cómo cambiaría la solución a este problema?

Si aún no te has estudiado la inversión echa un vistazo aquí.
Para ir a la solución pincha aquí.

PROBLEMA 2. LA MEDIATRIZ.

Los pueblos A y B están separados por un rio. Los alcaldes de ambos pueblo han decidido contruir una carretara que una los pueblos, para ello deben construir también un puente para cruzar el rio. Los dos alcaldes proponen que el puente debe estar a la misma distancia de cada pueblo y así poder dividir los gastos de construcción por igual.

 



















¿Dónde podrían construir el puente? ¿Cúal es el tramo más corto que une ambas ciudades a través del puente?


Para resolver este problema echa un vistazo a la teoría de la mediatriz.


No deberías...pero si te has perdido y quieres comprobar la respuesta haz clik aqui.

SOLUCIÓN PROBLEMA 2. LA MEDIATRIZ.

Para resolver el PROBLEMA 2 seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallaremos la mediatriz de AB.

2. Seleccionaremos los puntos de la mediatriz que también coincidan con el rio.

3. Comprobaremos cual es el camino más corto AJB o AIB.

La solución sería realizar el puente en el punto J, ya que es equidistante desde A y B, forma parte del rio y el camino que pasa por J es más corto que el que pasa por I.


Repasa y aprende:
¿Si quisieran tener en cuenta a un tercer pueblo C que tendrían que hacer?

LA MEDIATRIZ. TEORÍA.

"La mediatriz es el lugar geométrico cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento." Euclides.


¿Qué quiere decir esta frase? Pongámonos en la piel de los antiguos griegos que querían realizar una recta perpendicular a un segmento por su punto medio. Por un momento piensa en lo que harías para hallarla.

¡¡Ahora piánsalo pero sin usar una calculadora para hallar el punto medio!!

¡Vamos a resolverlo! 
Necesitaremos para ello una regla, un compás y un lapicero.



Dibujaremos primero el segmento AB = 3cm del que queremos saber la recta perpendicular que pasa por su punto medio.

Después con el compás trazaremos dos circunferencias, uno de centro A y otra de centro B, ambas con el mismo radio que decidamos. 
(RECUERDA: los arcos que dibujemos con el compás deben ser mayores a la mitad del segmento, si no estas seguro de si es mayor usa de abertura la longitud del segmento)

 Si unimos los puntos donde se cortan ambas circunferencias obtendremos la MEDIATRIZ.

 La línea roja es la mediatriz.

Como podéis ver a continuación la dimensión del radio de las circunferencias no influye en el resultado.



Para prácticar prueba a realizar el ejercicio de que propone Trazos y trazados.

TRIÁNGULO PITAGÓRICO.

Para ir conociendo mejor la geometría métrica vamos a repasar el teorema de Pitágoras, para echar un ojo a la teoría podéis leerla de Piziadas.

Abajo podéis ver un triángulo pitagórico realizado con la herramienta Geogebra en el que se puede deslizar el punto B para modificar los lados BC y AB.

SOLUCIÓN PROBLEMA 1. RAZONA Y REPASA.

A continuación podeis ver la solución en formato geogebra, en ella podeis modificar la longitud c moviendo el punto C, o mover el punto B para hacer toda la figura más grande.

 - ¿Al cambiar la magnitud de los lados los puntos interiores de cada lado que son equidistantes conservan su equidistancia? ¿Podrías explicar por qué?

SOLUCIÓN PROBLEMA 1. GEOMETRÍA MÉTRICA BÁSICA.

Para resolver este problema utilizaremos el teorema de Thales.
Para repasar el teorema de Thales puedes echar un ojo a esta página: Piziadas

1. En primer lugar debemos tener en cuenta la escala a la que se pide realizar el dibujo, en este caso 1/1250, lo que significa que 1 cm del dibujo representará 1250 cm de la realidad. Por lo que el lado "b" que mide 50 m en la realidad, medirá 4 cm en el dibujo, y el lado "c" medirá 3 cm.

Después colocaremos 35º en sentido antihorario desde el vértice A y situaremos el lado "c". Como nos dicen que se trata de un cuadrilátero, sabemos que sus lados son parelelos dos a dos por que definimos el cuadrilátero ABCD, uniendo B y C, haciendo una paralela a BC desde A, y haciendo una paralela a AB desde C.

2. Para saber los puntos donde estarán los postes de las verjas y las puertas de los lados contiguos a "b" que estarán por lo tanto situadas en "g" y "d", realizaremos una recta desde B en cualquier dirección en la que colocaremos una recta con puntos separados 1 cm para las verjas y 0,45cm para la puerta. Uniremos el último punto de esa recta con C y haremos paralelas a ese segmento por el resto de puntos de la recta.

3. Por paralelas a b desde E', F', G' y H', obtendremos los postes y las puerta del lado g.

4. Para saber donde estarán los postes en los lados b y h, realizaremos otro teorema de Thales desde A, colocando en una recta cualquiera cinco puntos equidistantes 1cm. Uniendo el último con B, y haciendo paralelas a ese segmento desde los puntos de la recta.

5. Para terminar realizaremos paralelas a BC desde K', L', M' y N'.

SOLUCIÓN FINAL:

PROBLEMA 1. GEOMETRÍA MÉTRICA - CONCEPTOS BÁSICOS.

Problema 1. En una finca con forma de paralelogramo, cuyo lado "b" = 50 m forma 35º (antihorario) con la diagonal "c" = 75 m; se va a vallar el perímetro con una verja de 10 m de longitud cada tramo y además se colocará una puerta en cada lado contiguo a "b" de 4,5 m de longitud. 

 - Representa a escala 1/1250 la finca marcando con puntos los postes de cada valla.

Solución !!!